Данное дифференциальное уравнение, представленное как y'' + 9y' = 0, является линейным однородным уравнением второго порядка. Его общее решение имеет вид y(t) = c1 exp(-3t) + c2 exp(3t), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения частного решения сначала найдем производные по времени y'(t) и y''(t):
y'(t) = -3 c1 exp(-3t) + 3 c2 exp(3t)
y''(t) = 9 c1 exp(-3t) + 9 c2 exp(3t)

Теперь подставим начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 3:
y(0) = c1 + c2 = 2
y'(0) = -3c1 + 3c2 = 3

Решая эти уравнения, найдем c1 = 1 и c2 = 1.

Итак, частное решение уравнения y'' + 9y' = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 2 и y'(0) = 3, имеет вид:
y(t) = exp(-3t) + exp(3t)