Для начала обозначим катеты треугольника ABC как AC и BC, а гипотенузу как AB. Также обозначим точку пересечения биссектрисы с гипотенузой как D.

Из условия известно, что угол C равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, а угол B равен 60 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Так как BM является биссектрисой угла ABC, то угол ABM равен 30 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. В нем угол ABM равен 30 градусов, угол AMB равен 90 градусов, следовательно угол BAM также равен 60 градусов. Таким образом, треугольник ABM является равносторонним.

Так как BM = 6 см, то AB = AM = 6 см. Из равностороннего треугольника ABM следует, что AM = BM.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что AC^2 = AB * BC.

Подставляем значение AB = 6 см и BC = 2 BM = 2 6 = 12 см:

AC^2 = 6 см * 12 см = 72 см^2

AC = √72 см = 6√2 см

Итак, катет AC треугольника ABC равен 6√2 см.