Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: ( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ), где ( a ) - длина стороны треугольника.

Зная, что длина стороны треугольника равна 8 см, подставляем данное значение в формулу:

( S = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} )

( S = \frac{64\sqrt{3}}{4} )

( S = 16\sqrt{3} ) кв.см

Теперь, чтобы найти площадь вписанного круга, пользуемся формулой для нахождения площади круга: ( S_{кр} = \pi r^2 ), где ( r ) - радиус круга. Радиус круга вписанного в правильный треугольник можно найти по формуле: ( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} ), где ( a ) - длина стороны треугольника.

Подставляем значение стороны треугольника (8 см) в формулу для нахождения радиуса:

( r = \frac{8\sqrt{3}}{6} )

( r = \frac{4\sqrt{3}}{3} ) см

Теперь подставляем найденное значение радиуса в формулу нахождения площади круга:

( S_{кр} = 3 \cdot \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^2 )

( S_{кр} = 3 \cdot \frac{16}{3} )

( S_{кр} = 16 \pi ) кв.см

Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 8 см, приблизительно равна 16π кв.см (или примерно 50,27 кв.см).