Дано: $f(x)=\frac{x-6}{x^4}$

Чтобы вычислить производную функции $f(x)$, мы воспользуемся формулой для производной частного двух функций:

$$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Где $u=x-6$, а $v=x^4$.

Теперь найдем производные $u^{\prime }$ и $v^{\prime }$:

$$u^{\prime }=1$$

$$v^{\prime }=4x^3$$

Теперь можем вычислить производную функции $f(x)$:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(1\cdot x^4-(x-6)\cdot 4x^3)}{(x^4{)}^2}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{x^4-4x^4+24x^3}{x^8}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{-3x^4+24x^3}{x^8}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{-3+24x}{x^5}$$

Таким образом, производная функции $f(x)=\frac{x-6}{x^4}$ равна $f^{\prime }(x)=\frac{-3+24x}{x^5}$.