Из условия задачи следует, что AD || BC и AC || BD.

Так как AK - биссектриса угла A, то тогда углы BAK и DAK равны между собой.
Из того, что AD || BC следует, что углы ABD и ACD равны соответственно углам BAK и DAK.
Так как CD - биссектриса угла C, то угол DAK тоже является биссектрисой угла C.
Таким образом, угол ACD равен углу DAK.

Из полученного следует, что треугольники ACD и AKD равны по двум углам и общей стороне, поэтому они подобны.
Отсюда следует, что отношение сторон AK и AC равно отношению сторон KD и DC.

Так как угол BDC равен углу CAD (так как AD || BC), то треугольники BDC и ACD подобны, и отношение сторон DC и AC равно отношению сторон BD и AD.

Из этих двух равенств следует, что отношение сторон AK и AC равно отношению сторон BD и AC.
Следовательно, AK = KD, и точка K действительно делит отрезок BC пополам.