Для начала построим графики двух функций y = x^2 + 4x + 5 и y = x + 3:

Функция y = x^2 + 4x + 5 при x >= 1:

Находим вершину параболы: x_v = -b / 2a = -4 / (21) = -2,
y_v = ax_v^2 + bx_v + c = 1(-2)^2 + 4(-2) + 5 = 14 - 8 + 5 = 1.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, 1).

Далее строим параболу и прямую на графике для x >= 1.

Функция y = x + 3 при x < 1:

Строим прямую на графике для x < 1.

Теперь осталось определить при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком общие точки.

Такие точки будут существовать, если прямая y = m будет пересекать обе функции y = x^2 + 4x + 5 и y = x + 3.

Для функции y = x^2 + 4x + 5:

m = x^2 + 4x + 5,
x^2 + 4x + 5 - m = 0.

Дискриминант данного уравнения должен быть >= 0, иначе прямая не пересечет данную параболу.

Для функции y = x + 3:

m = x + 3,
x + 3 - m = 0,
x = m - 3.

Таким образом, прямая y = m будет пересекать обе функции, если для дискриминанта функции y = x^2 + 4x + 5 выполнено условие d >= 0 и m - 3 >= 1.

Построим график с этими параметрами.