Для того чтобы показать что любое числовое поле является векторным пространством над полем рациональных чисел, нужно проверить выполнение всех аксиом векторного пространства:

Сложение векторов: даны два элемента поля (x, y), их сумма (x + y) также принадлежит тому же полю.Умножение на число: для любого элемента поля (x) и любого числа (\alpha) из поля рациональных чисел, произведение ( \alpha x) также принадлежит тому же полю.Аксиомы сложения и умножения:
a. Коммутативность сложения: (x + y = y + x)
b. Ассоциативность сложения: ((x + y) + z = x + (y + z))
c. Существование нулевого элемента: существует вектор (0), такой что для любого вектора (x), (0 + x = x)
d. Существование противоположного элемента: для любого вектора (x) существует вектор (-x), такой что (x + (-x) = 0)
e. Индентичность умножения: для любого вектора (x), (\alpha \cdot x = x)
f. Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел: ((\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x)
g. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов: (\alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y)
h. Ассоциативность умножения: (\alpha \cdot (\beta \cdot x) = (\alpha \cdot \beta) \cdot x)
i. Единица умножения: существует число 1, такое что для любого вектора (x), (1 \cdot x = x)

Таким образом, любое числовое поле является векторным пространством над полем рациональных чисел, так как оно удовлетворяет всем вышеперечисленным аксиомам.