Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2 + 2x^2 - x^3 найдем производную этой функции:

f'(x) = 4x - 3x^2

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем значения x:

4x - 3x^2 = 0
x(4 - 3x) = 0
x = 0 или x = 4/3

Теперь найдем значения функции f(x) в этих точках:

f(0) = 2
f(4/3) ≈ 3.56

Таким образом, точка экстремума функции f(x) = 2 + 2x^2 - x^3 при x = 4/3.

Теперь исследуем промежутки возрастания и убывания функции. Для этого запишем знаки производной на интервалах (-∞, 0), (0, 4/3) и (4/3, +∞):

При x < 0: f'(x) > 0
При 0 < x < 4/3: f'(x) < 0
При x > 4/3: f'(x) > 0

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (4/3, +∞), и убывает на интервале (0, 4/3).