Формулы:

1) a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + ... + b^(n-1))

2) a^(2k+1) + b^(2k+1) = (a + b)(a^(2k) - a^(2k-1)b + a^(2k-2)b^2 - ... + b^(2k))

Доказательство первой формулы (a^n - b^n):
Можно доказать данную формулу с помощью метода математической индукции.

База индукции:
При n = 1 формула верна: a^1 - b^1 = a - b

Предположение индукции:
Пусть формула верна для n = k, т.е. a^k - b^k = (a - b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + ... + b^(k-1))

Шаг индукции:
Докажем, что формула верна и для n = k+1:
a^(k) - b^(k) = (a - b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + ... + b^(k-1))
a^(k+1) - b^(k+1) = aa^k - bb^k = a(a^k - b^k) + b^k(a - b) = a(a - b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + ... + b^(k-1)) + b^k(a - b) = (a - b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + ... + b^(k-1))

Таким образом, формула a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + ... + b^(n-1)) доказана.

Доказательство второй формулы (a^(2k+1) + b^(2k+1)):
Аналогично, данную формулу можно доказать с помощью метода математической индукции.