Для нахождения промежутков монотонности функции и точек экстремума найдем производную данной функции:

y' = 3x² + 12x + 9

Далее найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x² + 12x + 9 = 0
x² + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x = -3 или x = -1

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x = -3 и x = -1.

Вычислим значения функции в этих точках:

y(-3) = (-3)³ + 6(-3)² + 9(-3) + 8 = -27 + 54 - 27 + 8 = 8
y(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 9(-1) + 8 = -1 + 6 - 9 + 8 = 4

Итак, точки экстремума функции: (-3, 8) - минимум, и (-1, 4) - максимум.

Теперь определим промежутки монотонности функции. Для этого рассмотрим знак производной на интервалах между точками экстремума и снаружи:

При x < -3 функция убывает, так как производная положительна: y' < 0При -3 < x < -1 функция возрастает, так как производная отрицательна: y' > 0При -1 < x функция снова убывает, так как производная положительна: y' < 0

Итак, промежутки монотонности функции: (-∞, -3) - убывает, (-3, -1) - возрастает, и (-1, +∞) - убывает.