а) Уравнение окружности с центром в точке О, проходящей через точку М:

Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точку М и имеющей центр в точке О, нам нужно использовать формулу окружности:

$x-x0$^2 + $y-y0$^2 = r^2

Где $x0,y0$ - координаты центра окружности, r - радиус.

Так как центр О имеет координаты $0,2$, то подставляем их в уравнение:

$x-0$^2 + $y-2$^2 = r^2

Теперь подставляем координаты точки М $-2,0$, чтобы найти радиус:

$-2-0$^2 + $0-2$^2 = r^2
4 + 4 = r^2
8 = r^2
r = √8 = 2√2

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке О и проходящей через точку М будет:

x^2 + $y-2$^2 = 8

б) Уравнение касательной к окружности в точке М:

Для того чтобы найти уравнение касательной к окружности в точке М, нам нужно найти угловой коэффициент касательной, который равен отрицательному обратному угловому коэффициенту радиус-вектора в данной точке.

У радиус-вектора в точке М координаты равны $-2,0$, следовательно, его угловой коэффициент равен 0.

Угловой коэффициент касательной будет равен -1/0 = -бесконечность.

Это значит, что уравнение касательной к окружности в точке М будет:

x = -2