Для того чтобы найти все значения параметра a, при которых все корни уравнения принадлежат промежутку [0;2], нужно найти условия, при которых дискриминант этого уравнения должен быть меньше 0 (чтобы корни были мнимыми).

Дискриминант квадратного уравнения D = b^2 - 4ac, где у нас a + 2, b = 4a, c = a + 2.

D = (4a)^2 - 4 (a + 2) (a + 2) < 0

16a^2 - 4a^2 - 16a - 16 < 0
12a^2 - 16a - 16 < 0
3a^2 - 4a - 4 < 0

Далее можно найти корни уравнения 3a^2 - 4a - 4 = 0 и посмотреть интервалы убывания функции.

a = (-(-4) ± √((-4)^2 - 43(-4))) / (2*3)
a = (4 ± √(16 + 48)) / 6
a = (4 ± √64) / 6

a1 = (4 + 8) / 6 = 2
a2 = (4 - 8) / 6 = -2/3

Теперь мы видим, что у нас два интервала, где D < 0:
-2/3 < a < 2

Таким образом, сумма всех целых значений параметра a, при которых все корни уравнения принадлежат промежутку [0;2], равна -1 (так как -1 принадлежит интервалу (-2/3;2)).