Для решения данного неравенства, следует рассмотреть различные интервалы, на которых sin(x) может быть меньше или больше, чем sin(nx) для различных значений n.

Для начала определим промежутки, на которых sin(x) <= sin(2x):

На промежутке [0; pi/2] имеем sin(x) <= sin(2x), так как оба значения неотрицательны и sin(x) возрастает на данном промежутке.На промежутке [pi/2; pi] также sin(x) <= sin(2x), так как sin(x) неотрицателен и убывает, а sin(2x) отрицателен и возрастает.На промежутке [pi; 3pi/2] sin(x) <= sin(2x), так как оба значения отрицательны и sin(x) возрастает.На промежутке [3pi/2; 2pi] также sin(x) <= sin(2x), так как sin(x) отрицателен и убывает, а sin(2x) неотрицателен и возрастает.

Теперь проделаем аналогичные действия для sin(2x) <= sin(3x), sin(3x) <= sin(4x) и sin(4x) <= sin(5x).

После сравнения всех интервалов мы получаем, что неравенство sin(x) <= sin(2x) <= sin(3x) <= sin(4x) <= sin(5x) выполняется на промежутках:

[0; pi/2][pi/2; pi][pi; 3pi/2][3pi/2; 2pi]