Пусть обыкновенные дроби из арифметической прогрессии равны $\frac{a_1}{b_1}$, $\frac{a_2}{b_2}$, $\frac{a_3}{b_3}$, ...

По условию, если поменять у всех членов местами числитель и знаменатель, то получится другая арифметическая прогрессия, то есть $\frac{b_1}{a_1}$, $\frac{b_2}{a_2}$, $\frac{b_3}{a_3}$, ...

Так как данные последовательности являются арифметическими прогрессиями, то разность между любыми соседними членами будет одинаковой. Пусть эта разность равна $d$ для первой прогрессии и $m$ для второй.

Тогда мы можем записать:

$\frac{a_2}{b_2} - \frac{a_1}{b_1} = d$

$\frac{b_2}{a_2} - \frac{b_1}{a_1} = m$

Это можно переписать следующим образом:

$\frac{a_2b_1 - b_2a_1}{b_1b_2} = d$

$\frac{b_2a_1 - a_2b_1}{a_1a_2} = m$

Так как данные числители и знаменатели являются целыми числами, то $d$ и $m$ также являются целыми числами. Но из этого следует, что $d=m$.

Теперь продолжим доказательство, используя равенство $d=m$.

$\frac{a_2b_1 - b_2a_1}{b_1b_2} = \frac{b_2a_1 - a_2b_1}{a_1a_2}$

$a_2b_1 - b_2a_1 = b_2a_1 - a_2b_1$

$a_2(b_1 + a_1) = b_2(a_1 + b_1)$

$a_2 = b_2$

Таким образом, мы получаем, что $a_2 = b_2$. Аналогично можно доказать, что и остальные члены арифметической прогрессии равны, следовательно, все члены каждой прогрессии одинаковы.