Для решения данной задачи воспользуемся малой теоремой Ферма:

Если a - целое число, p - простое число и a не делится на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Из данной теоремы следует, что a^(p-1) ≡ a^k (mod p), где k - остаток от деления (p-1) на 13.

Исходное выражение 41^52 + 57^41. Найдем остатки от деления каждого из чисел на 13:

41^52 ≡ 1 (mod 13), так как 13 - простое число и 41 не делится на 13.
57^41 ≡ 8^41 ≡ (8^4)^10 8 ≡ 1^10 8 ≡ 8 (mod 13), так как 8^4 ≡ 1 (mod 13) по малой теореме Ферма.

Теперь можем преобразить исходное выражение:

41^52 + 57^41 ≡ 1 + 8 ≡ 9 (mod 13).

Таким образом, остаток от деления 41^52 + 57^41 на 13 равен 9.