Наибольший общий делитель всех чисел вида 7^(n+2) + 82^(n+1) равен 5.

Для доказательства этого факта, можно воспользоваться следующими рассуждениями:

1) Число 7^(n+2) + 82^(n+1) можно представить в виде разности 7^(n+2) - 5^(n+2)

2) Далее применим формулу разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

3) Таким образом, 7^(n+2) - 5^(n+2) = (7 - 5)(49 + 75 + 25) = 281 = 162 = 23333

4) При этом можно заметить, что число 162 делится на 3 и 9, но не делится на 5.

5) Следовательно, 5 не делит число 7^(n+2) - 5^(n+2), а значит является наибольшим общим делителем всех чисел вида 7^(n+2) + 82^(n+1).