Пусть дано натуральное число ( n ) с десятичной записью ( ak, a{k-1}, ..., a_1, a_0 ), где ( a_i ) - цифры числа.

Тогда по определению десятичной записи числа:
[ n = ak \cdot 10^k + a{k-1} \cdot 10^{k-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0 ]

Рассмотрим остатки от деления данного числа на 3 и на 9:

По свойству остатков от деления на 3:
[ n \equiv (ak + a{k-1} + ... + a_1 + a_0) \mod 3 ]

По свойству остатков от деления на 9:
[ n \equiv (ak + a{k-1} + ... + a_1 + a_0) \mod 9 ]

Таким образом, получаем, что число ( n ) при делении на 3 и на 9 даёт такой же остаток, как и сумма цифр его десятичной записи.