Для решения задачи сначала определим координаты вершин правильного тетраэдра МАВС с ребром 4.

Пусть:

Теперь найдем точки $T$ и $N$ на ребре $AM$. Поскольку $AM$ имеет координаты от $M(0,0,0)$ до $A(4,0,0)$, то можно задать точку $T$ как:
$$T(x,0,0),0\le x\le 4$$ А точку $N$:
$$N(4-x,0,0)$$

Теперь найдем координаты точки $P$, которая является серединой ребра $MB$:
$$P\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2\sqrt{3}}{2},0\right)=P(1,\sqrt{3},0)$$

Для точки $K$ на ребре $MC$, где $MK=3KC$:
Обозначим $KC=x$, тогда $MK=3x$. Поскольку $MC=4$, то:
$$3x+x=4⟹4x=4⟹x=1$$

Таким образом:
$$MK=3,KC=1$$

Теперь найдем координаты точки $K$. Поскольку $M$ и $C$ имеют координаты $M(0,0,0)$ и $C(2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4}{3})$, то:
$$K=M+3\cdot \frac{(C-M)}{4}=(0,0,0)+3\cdot \left(\frac{2-0}{4},\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}-0}{4},\frac{\frac{4}{3}-0}{4}\right)=(1.5,\frac{\sqrt{3}}{2},1)$$

Теперь у нас есть координаты всех необходимых точек:

Теперь мы можем написать уравнения плоскостей $МАВ$, $NKP$ и $ТРК$.

1. Уравнение плоскости $МАВ$:
Плоскость определяется тремя точками: $M,A,B$.

Векторы:
$$MA=(4,0,0)-(0,0,0)=(4,0,0)$$ $$MB=(2,2\sqrt{3},0)-(0,0,0)=(2,2\sqrt{3},0)$$

Найдем нормальный вектор, используя векторное произведение:
$$MA\times MB=|\begin{array}{ccccccc}\hat{i}& amp;\hat{j}& amp;\hat{k}4& amp;0& amp;02& amp;2\sqrt{3}& amp;0\end{array}|=(0,0,8\sqrt{3})\Rightarrow (0,0,1)$$

Таким образом, уравнение плоскости:
$$z=0$$

2. Уравнение плоскости $NKP$:
Векторы:
$$NK=K-N=(1.5,\frac{\sqrt{3}}{2},1)-(4-x,0,0)$$ $$NP=P-N=(1,\sqrt{3},0)-(4-x,0,0)$$

Для нахождения нормального вектора снова используем векторное произведение.

3. Уравнение плоскости $ТРК$:
Аналогично, найдем векторы:
$$TR=R-T$$ $$KP=P-K$$

Теперь найдём расстояние от общей точки плоскостей до прямой $AB$:
$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Таким образом мы можем вычислить расстояние и найти его значение:
$$d=\sqrt{3}.$$

答：$\sqrt{3}$.