Для решения задачи найдем распределение дискретной случайной величины ( Y ), которая обозначает количество извлеченных белых шаров. У нас имеется 4 белых и 3 черных шара, поэтому всего шаров 7.

Число белых шаров ( Y ) может принимать значения ( 0, 1, 2 ) или ( 3 ). Для каждого случая найдем соответствующие вероятности.

1. Общее количество способов выбрать 3 шара из 7

Общее количество способов выбрать 3 шара из 7 можно выразить с помощью биномиального коэффициента:

[
C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
]

2. Вероятности для каждого значения ( Y )( Y = 0 ): Это означает, что были выбраны 0 белых и 3 черных шара. Количество способов выбрать 0 белых и 3 черных:

[
C(4, 0) \cdot C(3, 3) = 1 \cdot 1 = 1
]

Вероятность:

[
P(Y = 0) = \frac{1}{35}
]

( Y = 1 ): Это означает, что выбраны 1 белый и 2 черных шара. Количество способов выбрать 1 белый и 2 черных:

[
C(4, 1) \cdot C(3, 2) = 4 \cdot 3 = 12
]

Вероятность:

[
P(Y = 1) = \frac{12}{35}
]

( Y = 2 ): Это означает, что выбраны 2 белых и 1 черный шар. Количество способов выбрать 2 белых и 1 черный:

[
C(4, 2) \cdot C(3, 1) = 6 \cdot 3 = 18
]

Вероятность:

[
P(Y = 2) = \frac{18}{35}
]

( Y = 3 ): Это означает, что выбраны 3 белых шара. Количество способов выбрать 3 белых:

[
C(4, 3) \cdot C(3, 0) = 4 \cdot 1 = 4
]

Вероятность:

[
P(Y = 3) = \frac{4}{35}
]

3. Результат

Теперь мы можем составить ряд распределения и многоугольник распределения (графически).

( Y )Вероятность ( P(Y) )0(\frac{1}{35})1(\frac{12}{35})2(\frac{18}{35})3(\frac{4}{35})4. Рисунок многоугольника распределения

На графике по оси x откладываем значение ( Y ), а по оси y — соответствующую вероятность. Точки будут следующими:

( (0, \frac{1}{35}) )( (1, \frac{12}{35}) )( (2, \frac{18}{35}) )( (3, \frac{4}{35}) )

Линии соединяют эти точки, образуя многоугольник распределения.

Замечание

Сумма всех вероятностей должна равняться 1:

[
P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) = \frac{1 + 12 + 18 + 4}{35} = \frac{35}{35} = 1
]

Таким образом, все верно, и распределение случайной величины ( Y ) найдено.