Функция ( f(z) = (-1)^z ) требует особого подхода при вычислении для комплексных и даже для вещественных значений ( z ), поскольку степень с отрицательной основой не определена однозначно в общем случае.

Чтобы понять, как вычислить ( f(z) ) для вещественного числа ( z ), начнем с формулировки степени:

[
(-1)^z = e^{z \ln(-1)}
]

Где ( \ln(-1) ) — это комплексный логарифм, и его значение может быть выражено через формулу:

[
\ln(-1) = i\pi + 2k\pi i, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Это означает, что функция ( (-1)^z ) может быть представлена в виде:

[
(-1)^z = e^{z(i\pi + 2k\pi i)} = e^{z i \pi} e^{2k \pi i z}
]

Таким образом, значение функции зависит от выбора ( k ). Например, для ( k = 0 ) мы получим:

[
(-1)^z = e^{z i \pi}
]

Теперь подставим ( z_0 = \sqrt{2} ):

[
f(\sqrt{2}) = (-1)^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2} i \pi}
]

Это комплексное число можно также выразить в алгебраической форме, используя формулу Эйлера:

[
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)
]

где ( \theta = \sqrt{2}\pi ). Таким образом, получаем:

[
f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}\pi) + i\sin(\sqrt{2}\pi)
]

Резюмируя, значение функции ( f(z) = (-1)^z ) в точке ( z_0 = \sqrt{2} ) можно выразить как:

[
f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}\pi) + i\sin(\sqrt{2}\pi)
]

Это значение является как комплексным числом, так и результатом (зависит от выбора ветви логарифма).