Формулировка (параметризация). Пусть переходная матрица 2×2 задаётся параметрами $a=P_{12}$, $b=P_{21}$:
$$P=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ b& 1-b\end{array}\right),a,b\in [0,1].$$
1) Стационарное распределение (идентификация).
- Стационарное векторное решение $\pi =\pi P,{\sum }_i{\pi }_i=1$ даёт (при $a+b>0$)
$$\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}=\frac{b}{a},\pi =(\frac{b}{a+b},\frac{a}{a+b}).$$ - Специальные случаи:
- $a=b=0$: $P=I$ — любое распределение стационарно (невозможно идентифицировать по одному наблюдению).
- $a>0,b=0$: стационарное $\pi =(0,1)$ (абсорбирующее состояние 2).
- $a=0,b>0$: стационарное $\pi =(1,0)$ (абсорбирующее состояние 1).
- $a=b=1$: $\pi =(1/2,1/2)$ — уникальное стационарное, но нет сходимости для всех начальных (период 2).
2) Устойчивость состояния и скорость сходимости.
- Собственные значения $P$: ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=1-(a+b)$.
- При модуле $|{\lambda }_2|<1$ скорость сходимости к стационарному распределению геометрическая с фактором $|1-(a+b)|$. Т. е.
$$\Vert P^n-1\pi \Vert =O(|1-(a+b){|}^n).$$ (Здесь $1\pi$ — матрица с одинаковыми строками, равными $\pi$.)
- Поведение при краевых значениях:
- $a+b\to 0$ $\Rightarrow$ $|{\lambda }_2|\to 1$ — очень медленная сходимость.
- $a+b\to 2$ $\Rightarrow$ ${\lambda }_2\to -1$ — медленная, возможны сильные колебания (периодичность близкая к 2).
3) Критерии эргодичности (классические для цепи Маркова).
- Цепь эргодична (то есть существует единственная инвариантная мера и $\pi P^n\to \pi$ для любого начального распределения) тогда и только тогда, когда существует единственный закрытый класс, достижимый из любого состояния, и этот класс апериодичен.
- В терминах $a,b$ для 2 состояний:
- если $a>0$ и $b>0$ (цепь неприводима), то апериодичность нарушается только при $a=b=1$. Следовательно эргодична при
$$a>0,b>0,\text{и не}(a=b=1).$$ - если ровно один из $a,b$ равен 0, а другой положителен, то есть один поглощающий класс, достижимый из обеих точек, предельное распределение существует и равно соответствующему поглощению ($(0,1)$ или $(1,0)$).
- если $a=b=0$ — нет сходимости (зависит от начального распределения). если $a=b=1$ — период 2, нет сходимости для общего начального распределения.
4) Идентифицируемость из наблюдений и какие наблюдения нужны.
- Наблюдение полной последовательности состояний (временной ряд) даёт идентификацию обоих параметров через частоты переходов:
$$\hat{a}=\frac{\#(1\to 2)}{\#\text{посещений}1},\hat{b}=\frac{\#(2\to 1)}{\#\text{посещений}2}.$$ - Наблюдение только предельных частот (эмпирическое распределение $\hat{\pi }$) даёт лишь соотношение ${\pi }_1/{\pi }_2=b/a$ — можно оценить только отношение $b:a$, но не отдельно $a,b$.
- Если доступны наблюдения переходов с задержками (пары, подпоследовательности), то параметры идентифицируются быстрее и устойчивее.
- Дополнительные условия, облегчающие идентификацию: положительность частот переходов (чтобы оценки были ненулевыми), непрерывное наблюдение в достаточном объёме времени (чтобы частоты сходились).
5) Итог — когда система имеет единственную предельную зависимость от начального распределения:
- Достаточно и практически необходимое условие для 2×2: либо
1. $a>0$ и $b>0$ и не оба равны 1 (тогда цепь неприводима и апериодична) — классический случай эргодичности; либо
2. ровно один из $a,b$ равен 0, другой положителен (существует единственный поглощающий класс достижимый из всех состояний) — предельное распределение существует и равно соответствующему одиночному поглощению.
- Нежелательные случаи: $a=b=0$ (множество стационарных распределений, предельное зависит от начального) и $a=b=1$ (период 2 — нет сходимости).
Если нужно, могу дать формулы оценок, дисперсий оценок $\hat{a},\hat{b}$ и явную форму $P^n$ через собственное разложение.