Графики функций вида ( y = x^2 + 2bx + 2c ) представляют собой параболы. Если мы рассматриваем четыре таких функции, то пересечения между ими определяются решением уравнения, полученного при равенстве двух функций:

[
x^2 + 2b_1x + 2c_1 = x^2 + 2b_2x + 2c_2
]

Сокращая ( x^2 ) с обеих сторон, мы получаем:

[
(2b_1 - 2b_2)x + (2c_1 - 2c_2) = 0
]

Это линейное уравнение имеет, соответственно, одно решение (пересечение), если ( 2b_1 - 2b_2 \neq 0 ), и бесконечно много решений, если ( 2b_1 - 2b_2 = 0 ) и ( 2c_1 - 2c_2 = 0 ) (то есть, если функции совпадают).

Так как у нас всего 4 функции, количество пар функций, которые мы можем выбрать, равно:

[
\binom{4}{2} = 6
]

Каждая пара функций может иметь 0, 1, или 2 пересечения (если параболы ведут себя "друзьями" — можно и 3 пересечения, но это в общем случае маловероятно для данного вида функций).

Таким образом, наибольшее число точек пересечения, которое возможно, достигается, когда каждая пара функций пересекается в 2 точках. При ( 6 ) парах и ( 2 ) пересечениях на каждую пару, максимальное количество точек пересечения будет:

[
6 \times 2 = 12
]

Однако, в случае, если каждая из 4 функций может иметь одинаковые значения для некоторых ( b ) и ( c ), реальное количество пересечений может уменьшаться.

Поскольку мы ищем сети: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, среди них возможно только 6, 7 или 8, в зависимости от взаимного расположения графиков, поэтому все варианты могут быть потенциально возможными, но наиболее вероятные пересечения в пределах 6, 8 точек.

Итак, возможные варианты ответы:

Будьте внимательны при выборе ваших примеров, поскольку начало может зависеть от значений ( b ) и ( c ).