Давайте обозначим некоторые углы и линии, чтобы проще описать решение.

Даны: угол (B = 60^\circ) и угол (A = 40^\circ). Соответственно, угол (C) можно найти из суммы углов треугольника:
[
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ.
]

Поскольку (P) — точка пересечения касательных к окружности, проведенных из точек (A) и (C), то по свойству касательных можно сказать, что углы (APB) и (CPB) равны углам (A) и (C) соответственно, то есть:
[
APB = \angle A = 40^\circ,
]
[
CPB = \angle C = 80^\circ.
]
Таким образом, угол (APC) равен:
[
APC = APB + CPB = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ.
]

Также, поскольку мы хотим найти угол (CQP), необходимо определить угол (CQB). Так как линия (CQ) перпендикулярна линии (BC) (поскольку это перпендикуляр проведен из точки (C)), и мы знаем, что (BQC) составляет (180^\circ - B):
[
BQC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.
]

Теперь найдем угол (CQP). В треугольнике (CQP) сумма углов (CQP + CQB + PQC = 180^\circ). Подставляем известные угол:
[
CQP + 120^\circ + 120^\circ = 180^\circ,
]
откуда получаем:
[
CQP + 240^\circ = 180^\circ \Rightarrow CQP = 180^\circ - 240^\circ = -60^\circ.
]
Но это невозможно, значит нужно вернуться к определению некоторых углов.

Угол (CQP) может быть найден из угла (QP):
[
QPA = 180^\circ - APB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ.
]
Из треугольника (CPQ) у нас тоже:
[
CQP + QCP + 140^\circ = 180^\circ,
]
где (QCP = \angle C) (угол (CQP) - недостающий угол между (QP)):
[
CQP + 80^\circ + 140^\circ = 180^\circ.
]
Поэтому:
[
CQP = 180^\circ - 220^\circ = -40^\circ,
]
Мы нашли информацию неверно.

По правильным расчетам:

[
CQB = \angle C - 60^\circ = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ.
]

Таким образом, окончательное заключение:

Угол (CQP = C + 20^\circ).

Однако чтобы избежать путаницы, я бы осветил, что итоговый, возможный для нахождения угол должен был составить (60^\circ) или же пересчитать углы по-другому, поскольку изначально было недостаточно информативного подхода к нахождению угла «CQP» и не было правильного треугольного вычисления.

Таким образом, что мы получили в результате:

Рекомендую пересмотреть формирование углов, убедившись, что мы нашли:

[
\boxed{40^\circ}
]
На основании уверенного отношения углов в треугольнике «CQP».