Для решения неравенства $|x+1|\le ax$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения внутри модуля.

Случай 1: $x+1\ge 0$ $тоесть(x\ge -1)$

В этом случае неравенство принимает вид:
$$x+1\le ax.$$ Переносим все члены в одну сторону:
$$x+1-ax\le 0.$$ Это можно переписать как:
$$(1-a)x+1\le 0.$$ Решим это неравенство для разных значений $a$:

Если $a=1$, то неравенство становится:
$$0\cdot x+1\le 0,$$ что неверно, так как 1 не может быть меньше или равно 0. Значит, неравенство не имеет решений.

Если (a < 1), тогда (1 - a > 0) и неравенство станет:
$$(1-a)x\le -1,$$ что эквивалентно:
$$x\le \frac{-1}{1-a}.$$ Учитывая, что $x\ge -1$, мы получаем:
$$-1\le x\le \frac{-1}{1-a}.$$

Если (a > 1), тогда (1 - a < 0) и неравенство станет:
$$(1-a)x\le -1,$$ что эквивалентно:
$$x\ge \frac{-1}{1-a}.$$ Мы также должны учитывать, что $x\ge -1$.

Случай 2: (x + 1 < 0) (то есть (x < -1))

В этом случае неравенство принимает вид:
$$-(x+1)\le ax.$$ Упрощаем его:
$$-x-1\le ax,$$ или:
$$-x-ax\le 1.$$ Переписываем неравенство:
$$-(1+a)x\le 1.$$ Теперь решим для режимов:

Если $a+1=0$, то неравенство становится:
$$0\cdot x\le 1,$$ что всегда верно. Таким образом, все (x < -1) будут решениями.

Если (a + 1 > 0), то (1 + a > 0), условияы:
$$x\ge -\frac{1}{1+a}.$$ Это ограничивает область решений, и так как мы рассматриваем только (x < -1), данное условие определяет верхнюю границу.

Если (a + 1 < 0), то (1 + a < 0) и неравенство превращается в:
$$x\le -\frac{1}{1+a}.$$

Итоговое решение:

Теперь можем собрать все решения вместе, учитывая пересечения различных случаев и подводя итог следующим образом:

Для $a=1$ неравенство не имеет решений.Для (a < 1):
$$-1\le x\le \frac{-1}{1-a}.$$Для (a > 1):
[
x \geq \frac{-1}{1-a} \text{ и } x < -1.
]

Это конечный результат решения неравенства.