Рассмотрим все возможные остатки ( n ) при делении на 4. Остатки могут быть равны 0, 1, 2 или 3. Проанализируем каждый из этих случаев и найдем ( n^2 + 1 ).

Если ( n \equiv 0 \mod 4 ):
[
n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \mod 4 \implies n^2 + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod 4
]

Если ( n \equiv 1 \mod 4 ):
[
n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 4 \implies n^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 4
]

Если ( n \equiv 2 \mod 4 ):
[
n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 0 \mod 4 \implies n^2 + 1 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod 4
]

Если ( n \equiv 3 \mod 4 ):
[
n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \mod 4 \implies n^2 + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 4
]

Теперь подведем итоги:

В случае, когда ( n \equiv 0 \mod 4 ), ( n^2 + 1 \equiv 1 \mod 4 ).В случае, когда ( n \equiv 1 \mod 4 ), ( n^2 + 1 \equiv 2 \mod 4 ).В случае, когда ( n \equiv 2 \mod 4 ), ( n^2 + 1 \equiv 1 \mod 4 ).В случае, когда ( n \equiv 3 \mod 4 ), ( n^2 + 1 \equiv 2 \mod 4 ).

Таким образом, во всех возможных случаях ( n^2 + 1 ) может принимать значения 1 или 2 по модулю 4. Это означает, что ( n^2 + 1 ) не может быть делится на 4.

Следовательно, мы доказали, что ( n^2 + 1 ) не делится нацело на 4 ни при каком ( n ).