Для нахождения высоты цилиндра, воспользуемся данными о правильной четырёхугольной призме, которая описана около этого цилиндра.

Площадь боковой поверхности призмы. Формула для площади боковой поверхности правильной призмы:
[
S_{\text{бок.}} = P \cdot h,
]
где ( P ) — периметр основания призмы, а ( h ) — высота призмы (которая равна высоте цилиндра, так как призма описана около цилиндра).

Радиус основания цилиндра. Правильная четырёхугольная призма будет иметь основание в виде квадрата, который описан около цилиндра. Радиус описанной окружности квадрата равен радиусу цилиндра, т.е. ( R = 6 ).

Периметр квадрата. Периметр квадрата, который описан вокруг окружности радиусом ( R ), равен:
[
P = 4s,
]
где ( s ) — сторона квадрата. Сторону квадрата можно найти, используя связь радиуса окружности и стороны квадрата:
[
R = \frac{s \sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad s = R \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.
]
Теперь можно выразить периметр:
[
P = 4s = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}.
]

Составим уравнение для высоты. Используя формулу для площадей и подставив ( P ):
[
48 = 24\sqrt{2} \cdot h.
]
Разделим обе стороны на ( 24\sqrt{2} ):
[
h = \frac{48}{24\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
]

Таким образом, высота цилиндра равна ( h = \sqrt{2} ).

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро равно высоте цилиндра. В основании призмы лежит квадрат, его сторона равна диаметру вписанного круга. Поэтому

Поскольку по условию площадь боковой поверхности равна 48, искомая высота равна 1.