I(a)=${\int }_0^{\infty }{x}^{a-1}{e}^{-x}dx$ — это гамма-функция $\Gamma (a)$ при допустимых $a$. Кратко:
1) Условия сходимости:
- Поведение вблизи $x=0$: $x^{a-1}{e}^{-x}\sim x^{a-1}$, интеграл в окрестности нуля сходится тогда и только тогда, когда $a>0$.
- Поведение при $x\to \infty$: экспоненциальный спад $e^{-x}$ обеспечивает сходимость при любом $a$.
- Итого: несобственный интеграл (в смысле Римана/Лебега) сходится точно при $a>0$. Для $a\le 0$ интеграл расходится из-за поведения в нуле.
2) Связь с факториалом и рекуррентность:
- Для целых $n\ge 1$ $\Gamma (n)={\int }_0^{\infty }{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=(n-1)!$.
- Рекуррентность (получается интегрированием по частям для $\Re a>0$): $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$. Это даёт продолжение значения гаммы к другим значениям через рекуррентное соотношение.
3) Продолжение по параметру и свойства аналитического продолжения:
- Интегральное представление выше определено только при $\Re a>0$, но функция $\Gamma (a)$ допускает мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с простыми полюсами в неположительных целых точках $a=0,-1,-2,\dots$.
- Методы продолжения:
- Рекуррентность $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$ позволяет выразить $\Gamma$ для $\Re a\le 0$ через значения для больших аргументов, выявляя полюсы при $a=0,-1,\dots$.
- Формула отражения (Эйлера): $\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\frac{\pi }{\sin (\pi a)}$ — полезна для продолжения и связи значений в разных полуплоскостях.
- Контурное интегральное представление (контур Ханкеля) даёт явное аналитическое продолжение: $\Gamma (a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathcal{C}}(-t{)}^{a-1}{e}^{-t}dt$ (контур огибает положительную полосу разреза).
- Представления в виде произведения (Вайерштрасса) и предельные формулы (Эйлера) тоже используются для продолжения и изучения свойств:
$\frac{1}{\Gamma (a)}=a{e}^{\gamma a}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{a}{n}\right)e^{-a/n}$.
- Эйлеров предел: $\Gamma (a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!n^a}{a(a+1)\cdots (a+n)}$.
4) Полюсы и вычеты:
- У $\Gamma (a)$ простые полюса в $a=-n(n=0,1,2,\dots )$ с вычетами ${\mathrm{Res}}_{a=-n}\Gamma (a)=\frac{(-1{)}^n}{n!}$.
- Поведение при малых аргументах: $\Gamma (a)=\frac{1}{a}-\gamma +O(a)$ при $a\to 0$ ($\gamma$ — постоянная Эйлера).
5) Оценки и асимптотика:
- Для больших положительных $a$ полезна формула Стирлинга:
$\Gamma (a+1)\sim \sqrt{2\pi a}{\left(\frac{a}{e}\right)}^a$ при $a\to +\infty$.
- Для приближений и оценок в других областях применять указанные представления, формулу отражения и ряды/произведения.
Краткий итог: интеграл сходится только при $a>0$ и равен $\Gamma (a)$; для целых положительных аргументов даёт факториал; аналитическое (мероморфное) продолжение получаете через рекуррентность, формулу отражения, контурные интегралы или произведение Вайерштрасса — при этом возникают простые полюса в неположительных целых точках.