Кратко: утверждение верно. Ниже — проверка доказательства, нужные теоремы и когда условие равномерной сходимости можно ослабить.
Проверка и корректное доказательство
- Пусть $f_n$ непрерывны на $[0,1]$ и $f_n\to f$ равномерно. Тогда $f$ непрерывна (равномерный предел непрерывных функций на компактном множестве непрерывен).
- Все $f_n$ и $f$ интегрируемы (Riemann/Лебег) на $[0,1]$. Оценка:
∣∫01fn(x) dx−∫01f(x) dx∣=∣∫01(fn−f)∣≤∫01∣fn−f∣≤∥fn−f∥∞⋅1. \left|\int_0^1 f_n(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\right|
=\left|\int_0^1 (f_n-f)\right|
\le\int_0^1 |f_n-f|
\le\|f_n-f\|_\infty\cdot 1.
∫01 fn (x)dx−∫01 f(x)dx = ∫01 (fn −f) ≤∫01 ∣fn −f∣≤∥fn −f∥∞ ⋅1. Равномерная сходимость означает $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\to 0$, откуда ${\int }_0^1{f}_n\to {\int }_0^{1}f$.
- Если в доказательстве студент явно использовал такую оценку (или $\epsilon$-аргумент с суп-нормой), то доказательство корректно. Если он опирался лишь на покомпонентную (точечную) сходимость без дополнительной оценки — это недостаточно.
Необходимые теоремы (которые фактически используются)
- Равномерный предел непрерывных функций непрерывен на компактном множестве.
- Норма супремума: $\int |f_n-f|\le \Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\cdot m([0,1])$.
- (Для обобщений) теоремы Лебега: теорема о мажорированном сходимости (DCT) и монотонной сходимости (MCT).
Когда равномерную сходимость можно ослабить
- Лебег, DCT: если $f_n$ измеримы, $f_n\to f$ почти везде и существует $g\in L^1([0,1])$ с $|f_n|\le g$ тогда $\int f_n\to \int f$. Это сильно слабее равномерной сходимости.
- MCT: при $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ и $f_n\uparrow f$ почти везде имеем $\int f_n\to \int f$.
- Ограниченный случай на конечном измеримом пространстве (bounded convergence): если мера конечна, $f_n\to f$ почти везде и существует константа $M$ с $|f_n|\le M$, то по DCT $\int f_n\to \int f$.
- Для Riemann-интегралов: равномерная сходимость достаточно; без неё можно перейти в рамки Лебега и применить DCT/MCT. Прямых слабее условий в чисто Riemann-формулировке обычно недостаточно (см. контрпример ниже).
Контрпример, показывающий, что точечная сходимость не гарантирует сходимости интегралов
- Возьмём
$$f_n(x)=n{1}_{[0,1/n]}(x).$$ Тогда $f_n(x)\to 0$ для любого $x>0$ и $f_n(0)=n\to \infty$ (в точке 0 можно считать предел 0 при необходимости), то есть почти везде $f_n\to 0$, но ${\int }_0^1{f}_n(x)dx=1$ для всех $n$. Интегралы не сходятся к $\int 0=0$.
Короткий вывод: если в доказательстве студента использована оценка через суп-норму или явная $\epsilon$-оценка, то всё правильно. Если опора была на точечную сходимость без дополнительных условий, доказательство неверно; для ослабления условия используйте теорему о мажорированном сходимости или монотонную сходимость (Лебег).