Чтобы понять, почему ${\sqrt{2}}^2=2^{3/2}$, нужно рассмотреть свойства степеней и корней.

Известно, что $\sqrt{a}=a^{1/2}$. То есть квадратный корень из $a$ можно представить как $a$ в степени $\frac{1}{2}$.

Теперь, если мы возьмем и возведем в квадрат $\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2}=2^{1/2}$$

При возведении этого выражения в квадрат мы применяем правило возведения степени в степень: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$.

Таким образом, имеем:

$$(\sqrt{2}{)}^2=(2^{1/2}{)}^2=2^{(1/2)\cdot 2}=2^1=2.$$

Кажется, в вашем исходном вопросе могло произойти недоразумение. На самом деле, ${\sqrt{2}}^2=2$, а не $2^{3/2}$.

Скорее всего, вы имели в виду другое выражение. Если вам нужно рассмотреть какое-то другое равенство, например, оценивающее $2^{3/2}$, то это может быть связано с выражением $\sqrt{2^3}$:

$$2^{3/2}=(2^3{)}^{1/2}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

Если вам нужно что-то иное, пожалуйста, уточните ваш вопрос!