Чтобы вычислить $\cot \left(-\frac{19\pi }{4}\right)$, сначала приведем угол к положительному значению, добавив $2\pi$ до тех пор, пока не получим угол в пределах $[0,2\pi )$.

Найдем количество полных оборотов $2\pi$ в угле $-\frac{19\pi }{4}$:

$$-\frac{19\pi }{4}+2\pi \cdot n,n\text{– целое число}$$

Найдем минимальное значение $n$:

$$-\frac{19\pi }{4}+2\pi \cdot 5=-\frac{19\pi }{4}+\frac{40\pi }{4}=\frac{21\pi }{4}$$

Теперь найдем, сколько раз нам нужно вычесть $2\pi$ из $\frac{21\pi }{4}$:

$$\frac{21\pi }{4}-2\pi =\frac{21\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}$$

$$\frac{13\pi }{4}-2\pi =\frac{13\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$$

Теперь угол $\frac{5\pi }{4}$ находится в диапазоне $[0,2\pi )$.

Теперь вычислим $\cot \left(\frac{5\pi }{4}\right)$:

Угол $\frac{5\pi }{4}$ находится в третьем квадранте, и его трigonometric функции можно выразить через его эквивалентный угол в первом квадранте:
$$\frac{5\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}$$ Значения в этом квадранте:
$$\cot \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\cot \left(\frac{\pi }{4}\right)$$ Поскольку:
$$\cot \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$$

Таким образом:
$$\cot \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-1$$

И, следовательно:
$$\cot \left(-\frac{19\pi }{4}\right)=-1$$

Ответ:
$$\cot \left(-\frac{19\pi }{4}\right)=-1$$