Решим уравнение (1 + x = x^x).

Подберем значения (x), которые могут удовлетворить этому уравнению. Начнем с простых чисел:

Для (x = 1):
[
1^1 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 \quad \text{(не является корнем)}
]

Для (x = 2):
[
2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 \quad \text{(не является корнем)}
]

Для (x = 0):
[
0^0 - 0 - 1 \quad \text{(неопределенность, но часто принимается равным 1)} \Rightarrow 1 - 0 - 1 = 0 \quad \text{(это корень)}
]

Для (x = -1):
[
(-1)^{-1} - (-1) - 1 =( -1)^{-1} + 1 - 1 = -1 + 1 - 1 = -1 \quad \text{(не является корнем)}
]

Теперь, после проверок, мы можем утверждать, что одним из корней уравнения является (x = 0).

Однако глубокий анализ уравнения показывает, что нужно отметить, что функция (x^x) не определена для отрицательных (x) и всех случаев, кроме нуля, ведёт к положительным значениям.

Таким образом, уравнение имеет решение:
[
x = 0.
]

Это единственное "простой" корень уравнения. Для дальнейших значений можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона, для поиска возможных корней.