Для решения задачи обозначим длины наклонных как ( L_1 ) и ( L_2 ). По условию, наклонные относятся как 3:5, что можно записать как:

[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{5}
]
Это можно выразить в виде:

[
L_1 = \frac{3}{5} L_2
]

Также по условию проекции наклонных на плоскость равны 1 см (для наклонной ( L_1 )) и 4 см (для наклонной ( L_2 )). Обозначим проекции наклонных как ( P_1 = 1 ) см и ( P_2 = 4 ) см.

Для нахождения длины наклонных ( L_1 ) и ( L_2 ) можно использовать теорему о проекциях. По этой теореме длина наклонной определяется как отношение ее проекции к косинусу угла наклона:

[
L_1 = \frac{P_1}{\cos \alpha}
]
[
L_2 = \frac{P_2}{\cos \beta}
]

Где ( \alpha ) и ( \beta ) — углы наклона наклонных. Так как мы не знаем углы наклона, но у нас есть их отношение, можно использовать следующую соотношение:

Поскольку

[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{5},
]

то

[
\frac{\frac{P_1}{\cos \alpha}}{\frac{P_2}{\cos \beta}} = \frac{3}{5}
]

Подставим значения проекций:

[
\frac{\frac{1}{\cos \alpha}}{\frac{4}{\cos \beta}} = \frac{3}{5}
]

Это ведет к равенству:

[
\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{3}{5}
]

Упростим это:

[
\frac{\cos \beta}{\cos \alpha} = \frac{12}{5}
]

Теперь, подставим одно из выражений для ( L_1 ):

Используя ( L_2 = LP_2 ), то значение ( L_2 ) описывается как:

[
L_2 = \frac{4}{\cos \beta}
]

Подставим это в равенство ( L_1 = \frac{3}{5} L_2 ) и выразим через ( \cos ):

[
L_1 = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{\cos \beta}
]

Как длины ( L_1, L_2 ) не зависят от одинаковых углов, мы можем воспользоваться соотношениями, чтобы найти разницу. Скажем находим ( |L_1| = a ) и ( |L_2| = b ) для ясности.

Тем не менее:

[
\frac{1}{4} = \frac{\sum Z_1}{\sum z } = \frac{3}{5}\right).
]
Таким образом имеем начальные длины наклонных ( L_1 = 3 \textit{ и} L_2 = 5 ) см:

Далее подставляем и решаем уравнение:

[
L_1: L_1\sin \alpha = 1
]

[
L_2: L_2\sin \beta = 4
]

Теперь находим значения ( L_1 ) и ( L_2):

[
L_1 = 3\; и\; L_2 =5.
]

Ответ:

Длина наклонной 1: ( L_1 = 3 ) см, длина наклонной 2: ( L_2 = 5 ) см.