Чтобы найти 1:9 в 10-адической системе чисел, нужно рассмотреть операцию деления в 10-адических числах.

В 10-адической арифметике, мы можем представить 1 как бесконечную сумму:

[
1 = 1 + 0 \cdot 10 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^3 + \ldots
]

Теперь мы хотим найти такое 10-адическое число ( x ), что:

[
9x = 1
]

Для этого, мы можем использовать 10-адический аналог дробей. Мы начнём разрабатывать разложение.

Предположим, что:

[
x = 0.a_0 a_1 a_2 \ldots
]

где ( a_i ) — это цифры 10-адического числа. Мы можем выразить 9 как:

[
9 = 10 - 1
]

Следовательно, у нас есть:

[
9x = 10^k - 1
]

для некоторого ( k ), которое мы определим.

Мы можем найти 10-адическую эквивалентность числа ( \frac{1}{9} ) с помощью дробей. В 10-адической системе, можно представить деление ( 1:9 ) как:

[
\frac{1}{9} = 0.1 \overline{1}
]

Это означает, что:

[
x = 0.111111\ldots
]

Таким образом, в 10-адической арифметике результат деления ( 1:9 ) будет ( 0.1 \overline{1} ).

Таким образом, ( \frac{1}{9} ) в 10-адических числах представляется как:

[
\frac{1}{9} = 0.1\overline{1}
]

где "1" повторяется бесконечно.