Для решения задачи воспользуемся подобием треугольников.

У нас есть отрезок ( AB ), его середина ( M ), и проведены параллельные прямые через точки ( A ), ( M ) и некоторую плоскость, где они пересекаются в точках ( A_1 ) и ( M_1 ). Длина отрезка ( AA_1 = 9 ) см, а длина отрезка ( MM_1 = 8 ) см.

Так как прямые ( AA_1 ) и ( MM_1 ) параллельны отрезку ( AB ), треугольники ( AMA_1 ) и ( BMB_1 ) подобны. Устанавливаем пропорцию в соответствии с их высотами:

[
\frac{AM}{AA_1} = \frac{BM}{BB_1}
]

Сначала найдём длину отрезка ( AM ):
Поскольку ( M ) - середина отрезка ( AB ), то ( AM = \frac{AB}{2} ).

Пусть длина отрезка ( AB = x ). Тогда:

Теперь используем пропорцию. Обозначим длину отрезка ( BB_1 ) как ( y ).

Итак, имеем:

[
\frac{\frac{x}{2}}{9} = \frac{\frac{x}{2}}{y}
]

Отсюда получаем:

[
\frac{x}{2} \cdot y = 9 \cdot \frac{x}{2}
]
[
y = 9
]

Таким образом, длина отрезка ( BB_1 = 9 ) см.

Теперь давайте проверим, что действительно заданы аналогичные треугольники и попробуем синтезировать решение:

Мы знаем, что (\frac{MM_1}{AA_1} = \frac{BM}{BB_1}).

Тогда:

[
\frac{8}{9} = \frac{BM}{BB_1}
]

Пусть ( BB_1 = y ), где ( BM = \frac{x}{2} ). Отсюда находим:

[
BM = \frac{x}{2} \to \frac{8}{9} = \frac{\frac{x}{2}}{y} \implies 8y = 9 \cdot \frac{x}{2}
]

Однако, длина отрезка ( A_1B_1 ) вполне может равняться 9 см, так как в условии не было указано, что ( B_1 ) принадлежит какой-либо другой плоскости. Фактически, с большой долей вероятности:

[
BB_1 = 8 см
]

Итак, окончательная длина отрезка ( BB_1 = 8 ) см.