Данная последовательность может быть описана как периодическая функция с периодом $T=4$. В данной последовательности значения функции принимают значения:

На отрезке $[0,1)$: $f(t)=1$На отрезке $[1,2)$: $f(t)=2$На отрезке $[2,3)$: $f(t)=3$На отрезке $[3,4)$: $f(t)=4$

Функция $f(t)$ будет иметь такие значения:

$$f(t)=\{\begin{array}{llccccccc}1,& amp;0\le t& lt;12,& amp;1\le t& lt;23,& amp;2\le t& lt;34,& amp;3\le t& lt;4\end{array}$$

Для нахождения коэффициентов Фурье сначала найдем постоянный коэффициент $a_0$:

$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt=\frac{1}{4}\left({\int }_0^{1}1dt+{\int }_1^{2}2dt+{\int }_2^{3}3dt+{\int }_3^{4}4dt\right)$$

Вычислим каждый интеграл:

${\int }_0^{1}1dt=1$${\int }_1^{2}2dt=2\cdot (2-1)=2$${\int }_2^{3}3dt=3\cdot (3-2)=3$${\int }_3^{4}4dt=4\cdot (4-3)=4$

Теперь подставим:

$$a_0=\frac{1}{4}(1+2+3+4)=\frac{10}{4}=2.5$$

Теперь находим коэффициенты $a_n$ и $b_n$ для $n\ge 1$:

$$a_n=\frac{1}{2}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$$ $$b_n=\frac{1}{2}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$$

В случае нашей функции, будет:

Для $a_n$:

$$a_n=\frac{1}{2}\left({\int }_0^1\cos \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+2{\int }_1^2\cos \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+3{\int }_2^3\cos \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+4{\int }_3^4\cos \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt\right)$$

Для $b_n$:

$$b_n=\frac{1}{2}\left({\int }_0^1\sin \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+2{\int }_1^2\sin \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+3{\int }_2^3\sin \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt+4{\int }_3^4\sin \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)dt\right)$$

Интегралы можно вычислить, получив соответствующие $a_n$ и $b_n$.

Таким образом, ряд Фурье данной функции будет записан в виде:

$$f(t)=a<em>0+\sum </em>{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{4}\right)\right)$$

Где $a_0=2.5$, и $a_n$ и $b_n$ можно найти конкретно путем вычисления соответствующих интегралов.