Для решения этой задачи мы можем использовать cos-теорему и свойства треугольников. У нас есть треугольник ABD, где известны стороны AD и BD, а также косинус угла D.

Степень различий посредством косинусной теоремы:

$$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot \cos (D)$$

Теперь подставим известные значения. У нас:

Теперь можем подставить их в формулу:

$$A{B}^2=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{14}\right)$$

Сначала посчитаем $7^2$ и $4^2$:

$$7^2=49$$ $$4^2=16$$

И теперь подставим эти значения:

$$A{B}^2=49+16-2\cdot 7\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{14}\right)$$

Считаем произведение составляющих:

$$2\cdot 7\cdot 4=56$$ $$-56\cdot \left(-\frac{1}{14}\right)=4$$

Теперь подставим назад:

$$A{B}^2=49+16+4=69$$

Следовательно, $AB=\sqrt{69}$.

Таким образом, правильный ответ: √69.

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABD \) можно воспользоваться теоремой косинусов:

\[

AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle D

\]

Подставим известные значения:

- \( AD = 7 \) см,

- \( BD = 4 \) см,

- \( \cos \angle D = -\frac{1}{14} \).

Теперь подставим их в формулу:

\[

AB^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \left( -\frac{1}{14} \right)

\]

Рассчитаем по шагам:

1. \( 7^2 = 49 \)

2. \( 4^2 = 16 \)

3. \( 2 \cdot 7 \cdot 4 = 56 \)

4. \( 56 \cdot \left( -\frac{1}{14} \right) = -4 \)

Теперь подставим в уравнение:

\[

AB^2 = 49 + 16 + 4 = 69

\]

И найдём \( AB \):

\[

AB = \sqrt{69} \approx 8{,}31 \ \text{см}

\]

**Ответ:** Сторона \( AB \) приблизительно равна \( 8{,}31 \) см.

4.