Чтобы найти значение sinπ8 \sin \frac{\pi}{8} sin8π , можно использовать формулу половинного угла. Сначала заметим, что π8=π/42 \frac{\pi}{8} = \frac{\pi/4}{2} 8π =2π/4 .
Формула для синуса половинного угла выглядит так:
sinx2=1−cosx2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}sin2x =21−cosx
Теперь подставим x=π4 x = \frac{\pi}{4} x=4π :
sinπ8=sinπ42=1−cosπ42 \sin \frac{\pi}{8} = \sin \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}}sin8π =sin24π =21−cos4π
Зная, что cosπ4=22 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} cos4π =22 , подставим это значение в формулу:
sinπ8=1−222=2−24=2−22 \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}sin8π =21−22 =42−2 =22−2
Таким образом, значение sinπ8 \sin \frac{\pi}{8} sin8π равно 2−22 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} 22−2 .
Чтобы найти значение sinπ8 \sin \frac{\pi}{8} sin8π , можно использовать формулу половинного угла. Сначала заметим, что π8=π/42 \frac{\pi}{8} = \frac{\pi/4}{2} 8π =2π/4 .
Формула для синуса половинного угла выглядит так:
sinx2=1−cosx2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}
sin2x =21−cosx
Теперь подставим x=π4 x = \frac{\pi}{4} x=4π :
sinπ8=sinπ42=1−cosπ42 \sin \frac{\pi}{8} = \sin \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}}
sin8π =sin24π =21−cos4π
Зная, что cosπ4=22 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} cos4π =22 , подставим это значение в формулу:
sinπ8=1−222=2−24=2−22 \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}
sin8π =21−22 =42−2 =22−2
Таким образом, значение sinπ8 \sin \frac{\pi}{8} sin8π равно 2−22 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} 22−2 .