Давайте обозначим углы треугольника $ABC$ как углы $\angle BAC=30^{\circ }$, $\angle BMC=45^{\circ }$.

Поскольку $BM$ – медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, треугольники $ABM$ и $BCM$ имеют общую сторону $BM$ и углы $\angle ABM$ и $\angle CBM$ в равных отношениях.

Обозначим угол $ABC$ как $x$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }$:

$$\angle ABM+\angle ABC+\angle BAC=180^{\circ }$$ $$\angle ABM+x+30^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow \angle ABM=150^{\circ }-x$$

Теперь рассмотрим треугольник $BMC$:
$$\angle BMC+\angle CBM+\angle BCM=180^{\circ }$$ $$45^{\circ }+\angle CBM+\angle BCM=180^{\circ }\Rightarrow \angle CBM+\angle BCM=135^{\circ }$$

Так как $M$ – середина стороны $AC$, $\angle CBM=\angle ABM$. Тогда мы можем подставить:
$$\angle CBM+(150^{\circ }-x)=135^{\circ }$$ Это приводит нас к:
$$\angle CBM=135^{\circ }-(150^{\circ }-x)=x-15^{\circ }$$

Теперь, поскольку $\angle CBM+\angle ABC+\angle BAC=180^{\circ }$:
$$(x-15^{\circ })+x+30^{\circ }=180^{\circ }$$ $$2x+15^{\circ }=180^{\circ }$$ $$2x=165^{\circ }\Rightarrow x=82.5^{\circ }$$

Таким образом, угол $ABC$ равен $82.5^{\circ }$.