Чтобы найти длины векторов ( \vec{AB} ), ( \vec{BC} ) и ( \vec{CD} ), нужно сначала определить координаты этих векторов.

Вектор ( \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} ):
[
\vec{AB} = (1, -2, -3) - (-3, 1, 4) = (1 + 3, -2 - 1, -3 - 4) = (4, -3, -7)
]
Длина вектора ( \vec{AB} ):
[
|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 9 + 49} = \sqrt{74}
]

Вектор ( \vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} ):
[
\vec{BC} = (2, 2, 3) - (1, -2, -3) = (2 - 1, 2 - (-2), 3 - (-3)) = (1, 4, 6)
]
Длина вектора ( \vec{BC} ):
[
|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53}
]

Вектор ( \vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} ):
[
\vec{CD} = (5, 3, 1) - (2, 2, 3) = (5 - 2, 3 - 2, 1 - 3) = (3, 1, -2)
]
Длина вектора ( \vec{CD} ):
[
|\vec{CD}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}
]

Итак, длины векторов:

( |\vec{AB}| = \sqrt{74} )( |\vec{BC}| = \sqrt{53} )( |\vec{CD}| = \sqrt{14} )