Чтобы найти линейную комбинацию векторов ( AB - 3BC + 4CD ), сначала вычислим векторы ( AB ), ( BC ) и ( CD ).

Вычислим вектор ( AB ): [
AB = B - A = (-1, 8, -3) - (1, -2, 1) = (-1 - 1, 8 - (-2), -3 - 1) = (-2, 10, -4)
]

Вычислим вектор ( BC ): [
BC = C - B = (3, 2, 1) - (-1, 8, -3) = (3 - (-1), 2 - 8, 1 - (-3)) = (4, -6, 4)
]

Вычислим вектор ( CD ): [
CD = D - C = (5, 3, 1) - (3, 2, 1) = (5 - 3, 3 - 2, 1 - 1) = (2, 1, 0)
]

Теперь у нас есть векторы:

( AB = (-2, 10, -4) )( BC = (4, -6, 4) )( CD = (2, 1, 0) )

Теперь можем вычислить линейную комбинацию ( AB - 3BC + 4CD ).

Вычисляем ( -3BC ): [
-3BC = -3(4, -6, 4) = (-12, 18, -12)
]

Вычисляем ( 4CD ): [
4CD = 4(2, 1, 0) = (8, 4, 0)
]

Теперь складываем все вместе:
[
AB - 3BC + 4CD = (-2, 10, -4) + (-12, 18, -12) + (8, 4, 0)
]

Сначала складываем ( AB ) и ( -3BC ):
[
(-2, 10, -4) + (-12, 18, -12) = (-2 - 12, 10 + 18, -4 - 12) = (-14, 28, -16)
]

Теперь к результату прибавим ( 4CD ):
[
(-14, 28, -16) + (8, 4, 0) = (-14 + 8, 28 + 4, -16 + 0) = (-6, 32, -16)
]

Таким образом, линейная комбинация векторов ( AB - 3BC + 4CD ) равна:
[
\boxed{(-6, 32, -16)}
]