Рассмотрим квадрат ABCD со стороной длины ( a ). Площадь квадрата ABCD тогда будет:

[
S_{ABCD} = a^2.
]

Теперь определим координаты вершин квадрата ABCD, предположим, что:

Точка ( E ) лежит на середине отрезка ( BC ). Найдем координаты точки ( E ):

[
E\left(a, \frac{a}{2}\right).
]

Теперь найдем площадь треугольника ( ABE ). Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника с вершинами в точках ( (x_1, y_1) ), ( (x_2, y_2) ) и ( (x_3, y_3) ):

[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|,
]

где ( (x_1, y_1) = (0, 0) ), ( (x_2, y_2) = (a, 0) ), ( (x_3, y_3) = \left(a, \frac{a}{2}\right) ).

Теперь подставим координаты:

[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \left| 0(0 - \frac{a}{2}) + a\left(\frac{a}{2} - 0\right) + a(0 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| a \cdot \frac{a}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}.
]

Теперь найдем отношение площади квадрата ( ABCD ) к площади треугольника ( ABE ):

[
\text{Отношение} = \frac{S{ABCD}}{S{ABE}} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{4}} = 4.
]

Таким образом, искомое отношение площадей равно ( 4 ).