Для того чтобы определить, образуют ли точки $A(-1;-1;2)$, $B(2;2;0)$ и $C(2\cdot (1+2);1^2+3+4;7-2(1+1))$ треугольник, сначала найдем координаты точки $C$.

Вычислим координаты точки $C$:

Первый компонент: $2\cdot (1+2)=2\cdot 3=6$.Второй компонент: $1^2+3+4=1+3+4=8$.Третий компонент: $7-2(1+1)=7-2\cdot 2=7-4=3$.

Таким образом, координаты точки $C$ будут $C(6;8;3)$.

Теперь у нас есть три точки:

$A(-1;-1;2)$$B(2;2;0)$$C(6;8;3)$

Чтобы проверить, не лежат ли три точки на одной прямой, можно вычислить векторы $AB$ и $AC$ и проверить, линейно ли они зависимы. Если детерминант, составленный из координат этих векторов, равен нулю, то точки лежат на одной прямой.

Вычислим векторы:
$$AB=B-A=(2-(-1),2-(-1),0-2)=(3,3,-2)$$ $$AC=C-A=(6-(-1),8-(-1),3-2)=(7,9,1)$$

Теперь составим матрицу из векторов $AB$ и $AC$:
$$M=\left(\begin{array}{cccc}3& amp;73& amp;9-2& amp;1\end{array}\right)$$

Теперь найдем определитель этой матрицы. Поскольку у нас 3D, для проверки линейной зависимости можно использовать векторное произведение. Для нахождения площади треугольника векторной алгеброй используем:
$$S=\frac{1}{2}||AB\times AC||$$

Для нахождения векторного произведения:
$$AB=(3,3,-2),AC=(7,9,1)$$

Векторное произведение $AB\times AC$:
AB→×AC→=∣iamp;jamp;k 3amp;3amp;−2 7amp;9amp;1∣=i∣3amp;−2 9amp;1∣−j∣3amp;−2 7amp;1∣+k∣3amp;3 7amp;9∣ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
3 & 3 & -2 \
7 & 9 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 9 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 7 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 7 & 9 \end{vmatrix}
AB×AC= i amp;j amp;k 3 amp;3 amp;−2 7 amp;9 amp;1 =i 3 amp;−2 9 amp;1 −j 3 amp;−2 7 amp;1 +k 3 amp;3 7 amp;9 Вычислим определители:

∣3amp;−2 9amp;1∣=3⋅1−(−2)⋅9=3+18=21 \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 9 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 9 = 3 + 18 = 21 3 amp;−2 9 amp;1 =3⋅1−(−2)⋅9=3+18=21∣3amp;−2 7amp;1∣=3⋅1−(−2)⋅7=3+14=17 \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 7 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 7 = 3 + 14 = 17 3 amp;−2 7 amp;1 =3⋅1−(−2)⋅7=3+14=17∣3amp;3 7amp;9∣=3⋅9−3⋅7=27−21=6 \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 27 - 21 = 6 3 amp;3 7 amp;9 =3⋅9−3⋅7=27−21=6

Итак:
$$AB\times AC=(21,-17,6)$$

Теперь найдём длину векторного произведения:
$$||AB\times AC||=\sqrt{21^2+(-17{)}^2+6^2}=\sqrt{441+289+36}=\sqrt{766}$$

Итак, площадь треугольника $S$:
$$S=\frac{1}{2}||AB\times AC||=\frac{1}{2}\sqrt{766}$$

Таким образом, точки $A$, $B$ и $C$ образуют треугольник, и его площадь равна $\frac{1}{2}\sqrt{766}$.