Чтобы решить неравенство $(5-x)(x-8)(x-6{)}^2\le 0$, сначала определим нули функции, равные нулю каждому из множителей.

$5-x=0\Rightarrow x=5$$x-8=0\Rightarrow x=8$$(x-6{)}^2=0\Rightarrow x=6$ $этокоренькратности2$

Нули: $x=5$, $x=6$ $двойнойкорень$, $x=8$.

Теперь рассмотрим знаки выражения $(5-x)(x-8)(x-6{)}^2$ на интервалах, определённых корнями:

$(-\infty ,5)$$(5,6)$$(6,8)$$(8,+\infty )$

Теперь проверим знак выражения на каждом из интервалов:

Интервал $(-\infty ,5)$: выберем $x=0$:
[
(5 - 0)(0 - 8)(0 - 6)^2 = 5 \cdot (-8) \cdot 36 < 0
]

Интервал $(5,6)$: выберем $x=5.5$:
[
(5 - 5.5)(5.5 - 8)(5.5 - 6)^2 = (-0.5)(-2.5)(-0.5^2) < 0
]

Интервал $(6,8)$: выберем $x=7$:
[
(5 - 7)(7 - 8)(7 - 6)^2 = (-2)(-1)(1) > 0
]

Интервал $(8,+\infty )$: выберем $x=9$:
[
(5 - 9)(9 - 8)(9 - 6)^2 = (-4)(1)(9) < 0
]

Итак, мы нашли знаки на интервалах:

На интервале $(-\infty ,5)$ — отрицательное;На интервале $(5,6)$ — отрицательное;На интервале $(6,8)$ — положительное;На интервале $(8,+\infty )$ — отрицательное.

Теперь определим, где выражение $(5-x)(x-8)(x-6{)}^2$ меньше или равно нулю. Мы учитываем, что корень $x=6$ имеет кратность 2, значит он не меняет знак и будет выявляться как точка, где $f(6)=0$.

Таким образом, решение неравенства:
$$x\in (-\infty ,5]\cup [6,6]\cup [8,+\infty )$$

Записывая решение в более компактной форме, мы имеем:
$$x\in (-\infty ,5]\cup [6,8].$$