Для решения задач по треугольникам можно использовать теоремы и формулы тригонометрии, такие как косинусное и синусное правила.

Задача 1

Даны:

a = 10 смb = 14 смγ = 145°

Найдем сторону c и углы α и β.

Используем косинусное правило:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$$ Подставим значения:
$$c^2=10^2+14^2-2\cdot 10\cdot 14\cdot \cos (145°)$$

Сначала найдем $\cos (145°)$:
$\cos (145°)\approx -0.819$ $приближенно$

Теперь подставляем это значение:
$$c^2=100+196+2\cdot 10\cdot 14\cdot 0.819$$ $$c^2=100+196+2\cdot 10\cdot 14\cdot 0.819\approx 100+196+229.32$$ $$c^2\approx 525.32$$ $$c\approx \sqrt{525.32}\approx 22.9\text{см}$$

Теперь найдем углы α и β, используя синусное правило:
$$\frac{a}{\sin (\alpha )}=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{c}{\sin (\gamma )}$$

Для вычисления α:
$$\frac{10}{\sin (\alpha )}=\frac{22.9}{\sin (145°)}$$ Зная $\sin (145°)\approx 0.659$:
$$\sin (\alpha )=\frac{10\cdot 0.659}{22.9}\approx 0.288$$ Значит $\alpha \approx \arcsin (0.288)\approx 16.8°$.

Найдем угол β:
$$\beta =180°-\alpha -\gamma \approx 180°-16.8°-145°\approx 18.2°$$

Ответ:c ≈ 22.9 смα ≈ 16.8°β ≈ 18.2°Задача 2

Даны:

a = 15 смb = 24 смc = 20 см

Найдём углы α, β и γ с помощью косинусного правила.

Угол α:
$$\cos (\alpha )=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ Подставляем значения:
$$\cos (\alpha )=\frac{24^2+20^2-15^2}{2\cdot 24\cdot 20}$$ $$\cos (\alpha )=\frac{576+400-225}{960}=\frac{751}{960}\approx 0.782$$ Значит:
$\alpha \approx \arccos (0.782)\approx 38.2°$.

Угол β:
$$\cos (\beta )=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$ Подставляем значения:
$$\cos (\beta )=\frac{15^2+20^2-24^2}{2\cdot 15\cdot 20}$$ $$\cos (\beta )=\frac{225+400-576}{600}=\frac{49}{600}\approx 0.082$$ Значит:
$\beta \approx \arccos (0.082)\approx 85.3°$.

Угол γ:
$$\gamma =180°-\alpha -\beta \approx 180°-38.2°-85.3°\approx 56.5°.$$

Ответ:α ≈ 38.2°β ≈ 85.3°γ ≈ 56.5°