В треугольнике ABC угол C равен 90°. Обозначим длину стороны AB как ( c ). Поскольку ( M ) - середина стороны ( AB ), то ( AM = MB = \frac{c}{2} ).

Согласно теореме Пифагора, для треугольника ABC выполняется следующее равенство:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2.
]
Подставим известные длины:
[
c^2 = 15^2 + 8^2,
]
[
c^2 = 225 + 64,
]
[
c^2 = 289.
]
Следовательно,
[
c = \sqrt{289} = 17.
]
Теперь можем найти длину отрезка ( AM ) (или ( MB )):
[
AM = MB = \frac{c}{2} = \frac{17}{2} = 8.5.
]

Для нахождения длины ( CM ), используем теорему о медиане, которая гласит, что длина медианы ( CM ), проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, определяется по формуле:
[
CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AC^2 + 2BC^2 - AB^2}.
]

Подставим известные значения:
[
CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 8^2 - 17^2}.
]
Расчитаем:
[
CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 225 + 2 \cdot 64 - 289},
]
[
CM = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 128 - 289},
]
[
CM = \frac{1}{2} \sqrt{289}.
]
Так как ( \sqrt{289} = 17 ), получаем:
[
CM = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5.
]

Таким образом, длина отрезка ( CM ) равна ( 8.5 ).