Уравнение ( n^m = m^n ) имеет несколько решений для натуральных чисел ( n ) и ( m ). Рассмотрим некоторые случаи:

Случай ( n = m ): Если ( n = m ), то уравнение выполняется для всех натуральных чисел ( n ). То есть, пары ( (n, n) ) являются решениями.

Случай ( n \neq m ): Можно привести несколько конкретных решений:

Если взять ( n = 2 ) и ( m = 4 ), то:
[
2^4 = 16 \quad \text{и} \quad 4^2 = 16,
]
что дает пару ( (2, 4) ).

Точно так же, если взять ( n = 4 ) и ( m = 2 ), то это также будет решением:

[
4^2 = 16 \quad \text{и} \quad 2^4 = 16,
]
что дает пару ( (4, 2) ).

Теперь подведем итоги. Все пары ( (n, m) ), удовлетворяющие условию ( n^m = m^n ) в натуральных числах, включают:

Пары вида ( (k, k) ) для любого натурального ( k ).Пары ( (2, 4) ) и ( (4, 2) ).

Таким образом, все решения:

[
(n, m) = (k, k) \quad \text{и} \quad (2, 4), (4, 2).
]