Давайте обозначим сторону квадрата за ( a ). Площадь квадрата будет равна ( S_{квадрат} = a^2 ). Площадь прямоугольника, согласно условию, равна половине площади квадрата, то есть:

[
S{прямоугольник} = \frac{1}{2} S{квадрат} = \frac{1}{2} a^2
]

Условие также говорит, что квадрат больше площадью на 1 см². Это означает, что площадь квадрата больше площади прямоугольника на 1 см²:

[
S{квадрат} = S{прямоугольник} + 1
]

Подставляем выражения для площадей:

[
a^2 = \frac{1}{2} a^2 + 1
]

Теперь вычтем (\frac{1}{2} a^2) из обеих сторон:

[
a^2 - \frac{1}{2} a^2 = 1
]

Упрощаем:

[
\frac{1}{2} a^2 = 1
]

Умножим обе стороны на 2:

[
a^2 = 2
]

Теперь найдём длину стороны квадрата:

[
a = \sqrt{2}
]

Теперь можем найти площадь прямоугольника:

[
S_{прямоугольник} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \text{ см}^2
]

Ответом на вашу задачу является сторона квадрата (\sqrt{2}). Сторона прямоугольника равна 1 см², как из условий задачи, и она является половиной площади квадрата.