Для нахождения точки минимума функции ( y = (2x^2 - 28x + 2)e^{3 - x} ) необходимо выполнить следующие шаги:

Найти производную ( y' ): Чтобы это сделать, применим правило произведения. Если ( u(x) = 2x^2 - 28x + 2 ) и ( v(x) = e^{3-x} ), то
[
y = u \cdot v.
]
Тогда производная будет
[
y' = u'v + uv'.
]

Найдем ( u' ) и ( v' ):
[
u' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 28x + 2) = 4x - 28,
]
[
v' = \frac{d}{dx}(e^{3-x}) = -e^{3-x}.
]

Теперь можем записать производную ( y' ):
[
y' = (4x - 28)e^{3-x} + (2x^2 - 28x + 2)(-e^{3-x}).
]
Упрощаем:
[
y' = e^{3-x}[(4x - 28) - (2x^2 - 28x + 2)].
]
[
= e^{3-x}[(4x - 28) - 2x^2 + 28x - 2].
]
[
= e^{3-x}[-2x^2 + 32x - 30].
]

Найти критические точки: Для этого решим уравнение ( y' = 0 ):
[
e^{3-x}(-2x^2 + 32x - 30) = 0.
]
Поскольку ( e^{3-x} \neq 0 ) для всех ( x ), достаточно решить:
[
-2x^2 + 32x - 30 = 0.
]
Умножим уравнение на -1:
[
2x^2 - 32x + 30 = 0.
]
Для нахождения корней используем формулу решения квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 2, b = -32, c = 30 ):
[
x = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30}}{2 \cdot 2}.
]
[
x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 240}}{4} = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{4} = \frac{32 \pm 28}{4}.
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{60}{4} = 15, \quad x_2 = \frac{4}{4} = 1.
]

Определить, какой из критических точек является минимумом: Для этого используем вторую производную или проверим значение первой производной в интервалах, ограниченных критическими точками.

Найдем ( y'' ):
[
y'' = e^{3-x} \left[ (-2)(4x - 28) + (-2x^2 + 32x - 30)(-1) \right],
]
Но проще проверить знак первой производной в точках между корнями ( x = 1 ) и ( x = 15 ):

Для ( x < 1 ): допустим, ( x = 0). ( y' > 0 ) (функция возрастает).Для ( x = 1.5 ): ( y' < 0 ) (функция убывает).Для ( x > 15 ): допустим, ( x = 16). ( y' > 0 ) (функция снова возрастает).

Таким образом, функция имеет минимум в точке ( x = 1 ).

Найдем значение функции в точке минимума:
[
y(1) = (2(1)^2 - 28(1) + 2)e^{3-1} = (2 - 28 + 2)e^2 = (-24)e^2.
]

Итак, точка минимума функции ( y = (2x^2 - 28x + 2)e^{3-x} ) находится в ( x = 1 ), а значение функции в этой точке:
[
y(1) = -24e^2.
]