Для решения задачи выделим основные компоненты и проведем необходимые рассуждения.

Дано:Треугольник ABC.Точка M на стороне BC, такая что ( BM:MC = 2:8 ).Решение:

Обозначим длины отрезков:
Пусть ( BM = 2k ) и ( MC = 8k ) для некоторого положительного ( k ). Тогда общая длина отрезка ( BC = BM + MC = 2k + 8k = 10k ).

Найдем координаты точек:
Предположим, что точки A, B и C имеют следующие координаты:

B(0, 0)C(10k, 0)A(x_A, y_A) (координаты точки A произвольны)

Тогда точка M будет находиться по следующей формуле:
[
M\left(\frac{2 \cdot 10k + 8 \cdot 0}{10}, \frac{2 \cdot 0 + 8 \cdot 0}{10}\right) = M(2k, 0)
]

Находим медиану BK:
К точке K — середине отрезка AC (K будет иметь координаты средней точки):
[
K\left(\frac{x_A + 10k}{2}, \frac{y_A + 0}{2}\right) = K\left(\frac{x_A + 10k}{2}, \frac{y_A}{2}\right)
]

Найдем вектор ( AM ) и ( BK ):
Вектор ( AM = M - A = (2k - x_A, -y_A) ) и вектор ( BK = K - B = \left(\frac{x_A + 10k}{2}, \frac{y_A}{2}\right) ).

Находим отношение:
По теореме о разделении отрезка соотношением ( p:q ) можно воспользоваться формулой для нахождения деления отрезка в определенном отношении:
Отрезок BK делится в отношении 2:8 = 1:4, следовательно, получаем:

Если M делит BK в отношении ( m:n ), то:
[
\frac{BM}{MC} = \frac{m}{n}
]
Получается, что ( AM ) делит медиану ( BK ) в отношении 1:4.

Ответ:

Отрезок ( AM ) делит медиану ( BK ) треугольника ( ABC ) в отношении ( 1:4 ).