Чтобы выделить полный куб в уравнении $x^3+30x^2+300x+1008=0$, давайте сначала попробуем представить его в виде $(x+a{)}^3+b=0$.

Распишем куб выражения $(x+a{)}^3$:

$$(x+a{)}^3=x^3+3a{x}^2+3a^{2}x+a^3$$

Сравним коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член с коэффициентами в нашем уравнении.

У нас есть $3a=30$, отсюда $a=\frac{30}{3}=10$.Теперь найдем значение $b$. Для этого подставим $a$ в расширенное выражение:

$$(x+10{)}^3=x^3+30x^2+300x+1000$$

Теперь сравним это с нашим уравнением, чтобы найти $b$:

$$x^3+30x^2+300x+(1000+b)=0$$

Сравниваем свободные члены:

$$1000+b=1008⟹b=1008-1000=8$$

Таким образом, наше уравнение можно записать в виде:

$$(x+10{)}^3+8=0$$

Или в более удобной форме:

$$(x+10{)}^3=-8$$

Теперь мы можем найти корни. Для этого извлекаем кубический корень:

$$x+10=-2$$

Таким образом:

$$x=-2-10=-12$$

Рассмотрим, что у кубического уравнения может быть три корня, но поскольку $(x+10{)}^3=-8$, единственный корень в действительных числах:

Один действительный корень: $x_1=-12$.

Комплексные корни можно найти, заметив, что у нас могут быть такие корни, как $x+10=-2$ и два комплексных числа из тригонометрической формы:

Из-за энергии третьего кубического корня, следующие корни будут:
$$x+10=-2\text{и}x+10=-2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\text{и}x+10=-2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Таким образом, у нас есть один действительный корень и два комплексных конъюнктуры.

Обобщая:

$x_1=-12$$x_2=-8+i\sqrt{3}$$x_3=-8-i\sqrt{3}$

Ответ:

$a=10$Решения уравнения: $x_1=-12,x_2=-8+i\sqrt{3},x_3=-8-i\sqrt{3}$.